写给读者的话 欢迎阅读本书.我的目标是让学生通过大量现有的例子和已经实现的代码来掌 握书中的内容.另外，本书不仅要引导学生对方程和定理为什么成立展开大量讨论， 还要引导他们不断探讨为什么这些方程和定理具有这样的形式，从某种意义上说， 本书是阿德里安班纳的成功著作《普林斯顿微积分读本》的续作.除了那些已有 答案的问题之外，关于定理的证明，书中给出了很多解释说明，其中重点讨论了为 什么某些论证是显然成立的，以及我们为什么想要得到具有某种特定形式的答案. 弄清楚某些结论为何成立以及应当采用什么样的思路来证明，将帮助你更加正确地 使用这些结论并从中挖掘出新的相关知识.本书着重强调了证明背后的方法和技 巧，因为这些方法和技巧的应用领域不仅限于概率论这一门课程，例如，附录A中 有关于证明技巧的扩展条目，17.1节中有对马尔可夫不等式的讨论.另外，本书利 用了大量的计算机代码示例来探讨概率问题.现在已是21世纪了，如果不会编写 简单的代码，那么你在竞争中就会处于劣势.当我们得到闭型解时，编写小程序将 有助于检验其数学算法是否正确：更重要的是，如果问题分析起来相当复杂，面我 们又很难得出精确答案，那么编写小程序将有助于估算出答案.（如果可能的话！
） 本书既可以作为经典概率论图书的补充，也可以作为学习概率论的主要教材， 共分为五个部分.第一部分介绍概率论，由六章组成.第1章主要通过一些有趣的 问题来引入许多重要思想，概率论中的很多核心理念将会反复出现第2章会给出 概率论中的基本定律，相应的例子会在第3章中给出.这样的安排能使学生迅速接 触到概率论中的实际问题，并且不会在理论知识增长的同时感到压力倍增在研究 完这些例子之后，第4章仍然是理论知识，其后两章仍与例子有关（当然，这两章还 将引入解决这些问题的若干理论） 第二部分是大多数课程的核心，引入了随机变量，首先，它回顾了一些有用的 技巧，然后通过“标准化”技巧来研究随机变量 第三部分研究的是一些特殊分布，概率分布有很多类型，但这一部分有所选择， 并且很好地将连续分布和离散分布结合了起来.在读完这几章之后，你就有能力应 对你所见到的任何新分布了. 第四部分研究的是收敛定理，由于这部分内容旨在作为补充材料或入门课程， 因此不做特别详细的讨论，但我们会证明马尔可夫不等式、切比雪夫定理、羽大数 ①附录请到图灵社区本书主页（ituring.cn/book/1996）下载.-编者注
iv写给读者的话 定律和强大数定律、斯特林公式以及中心极限定理（CLT）.最后这个定理特别重要， 因此我们会在这部分和相关附录中进行详细论述，面这里所使用的技巧本身就具有 一定的研究价值.想了解关于这些价值的更多内容，可以查阅网络资源（其中有一 章关于复分析和CLT的高阶内容） 为了让学生和教师更灵活地掌握教材内容，最后的第五部分将会安排各类相关 知识由于很多课程会把概率论与统计学结合在一起，因此我们首先要看的是假设 检验这一章.接下来，我们会考察差分方程，这部分内容延续了第1章的主题思想 我真的非常喜欢最小二乘法，虽然它是统计学的内容，但也是对线性代数和多元微 积分的完美应用.另外，如果让误差服从独立的高斯分布，那么我们就能得到一个 卡方分布，这使得最小二乘法在概率论中也有了完美的拟合.我们还会谈到一些著 名问题，并给出关于编程的入门指南（对编程更全面的介绍，请参阅网络补充资料）. 在21世纪，你必须具有基本的编程能力.首先，这是检验你的答案正确与否以及 帮助你查缺补漏的好方法.其次，倘若你会编程，那么你对答案就有了初步感受，这 或许就能帮助你猜测出正确的答案.最后，尽管在很多时候并不存在简单的闭型解， 但我们可以在没有其他选择的情况下利用模拟来估算概率，这就很好地呼应了本段 开头所说的假设检验：如果我们推测出了一个答案，那么能否通过模拟加以证实？
分析模拟和数据是现代科学的核心，我也强烈建议你继续学习一门统计学课程（多 门更好） 本书最后给出了大量附录”，这些内容都是经过精心安排的.很多人在学习概 率论的过程中苦苦挣扎，而问题往往出现在他们以前学过的知识和技巧上，尤其是 定理的证明方面，这也是为什么第一个有关证明技巧的附录会如此长而详细，第 二个附录快速回顾了那些会被用到的分析结果，接下来的附录则与可数集与不可数 集有关.数学中最大的困难往往出现在与无穷大有关的问题上，安排这部分内容就 是为了简单地介绍出现在概率论中的无穷大.最后的附录简要地谈了谈复分析是如 何在概率论中起作用的，尤其是在如何严格地证明中心极限定理方面.虽然该附录 涉及高等知识，但值得花时间学习，因为掌握这部分内容既可以让你更好地学习后 续的数学课程，还有望帮助你领悟这门学科的关妙与复杂之处 我希望把更多的知识写进书里，但本书的内容已经够多了.不过，...
