建筑结构学报（增刊1） Joumal of Building Struc tures( Supplementary Issue 1) 钢筋混凝土结构重力二阶效应分析 李云贵，黄吉锋 （中国建筑科学研究院结构所，北京100013） 摘要：介绍了P4效应分析中常见的4种基本方法：基于几何刚度的有限元方法、基于等效水平力的有限元选代方法、折减 弹性抗弯刚度的有限元法以及结构位移和构件内力增大系数法，并对各种方法的特点作了简要分析.
对结构在考虑P 效应后其自振周期发生变化“的情况进行了讨论并指出其合理性.
最后通过算例，研究了P效应在不同高度的钢筋混 凝土高层建筑的总体结构反应中所占的可能的比例，以及考虑P效应时地震作用和风荷载引起的层间位移的变化规律.
关键词：钢筋混凝土：PA效应：几何刚度：周期 中图分类号：U375.01文献标识码：A Analysis ofgravitysecond-ordereffectfor reinforcedconcrete stnuctures LI Yungui HUANG Jifeng ( Institute of Building Structure China Academy of Building Research Beijing 100013 China) Abstraet: Four fundamental methods for analysis of P& effect and their characteristics were summarized in this paper such as the finite element method based on geometric stiffnes the finite element iteration method based on equivalent horizontal forces the finite element method based on reduction elastic flexural stifness and the structural disp lacement and intemal forces enhancement coeficient method The change of natural viriation period of structures considering P effect was discussed and its rationality was appioved Finally several examples have been used o demonstrate the pxoportion of P effect in the overall structure responses of highrise reinforced concrete building with diferent height as well as the change regulations of intersory disp lacement caused by earthquake action and wind lbad when con sidering P effect Keyword: reinforced concrete; Pf effect geometric stiffness period 0引言 建筑结构的几何非线性二阶效应一般认为由两部 结构总的二阶效应是P效应与P效应之和.
在 分组成：P6效应和P效应.
P&效应是指由于构件在不同的结构中，P6效应与P△效应所占的比例不同.
轴向压力作用下，自身发生挠曲引起的附加效应，可称P5效应与结构构件的长细比和轴向压力有关，在任何 之为”构件挑曲二阶效应”它通常指轴向压力在产生了结构中，只要构件中存在轴向压力，P&效应就存在，构 挠曲变形的构件中引起的附加弯矩.
附加弯矩与构件件的长细比越大、轴向压力越大，相应的P6效应就越显 的挠曲形态有关，一般中间大，两端小.
P△效应是指由著.
PA效应与结构在水平力作用下产生的侧移和重力 于结构的水平变形而引起的重力附加效应，可称之为荷载的大小有关.
在无侧移结构中，因结构的侧移绝对 “重力二阶效应”.
结构在水平力（风荷载或水平地震值很小，由P△效应引起的附加内力或附加变形很小， 力）作用下发生水平变形后，重力荷载因该水平变形而几乎可以忽略不计，这类结构的二阶效应以P&效应为 引起附加效应.
结构发生的水平侧移绝对值越大，P主：而在有侧移结构中，在水平力作用下结构的侧移变 效应越显著，若结构的水平变形过大，可能因重力二阶 形较大，P效应可使结构的位移和内力增大较多，其 效应而导致结构失稳.
二阶效应多以PA效应为主.
作者简介：李云贵（1962一）男，辽宁绥中人，工学博士，研究员.
收稿日期：2008年3月 208
在极限状态下的钢筋混凝土结构分析中，P△效应和重力荷载的大小.
在无侧移结构中，因结构的侧移绝 和P6效应具有很强的几何非线性特征，考虑P△效应对值很小，由PA效应引起的刚度矩阵变化量{K1很 和P&效应的结构分析，严格地讲，应同时考虑材料的非小，几乎可以忽略不计P效应，这类结构的二阶效应 线性和裂缝、构件的曲率和层间侧移、荷载的持续作用、以P6效应为主.
混凝土的收缩和徐变，以及上部结构与地基基础的相互 在仅考虑PA效应的结构分析中，可取{K1=0， 作用等因素.
但要实现比较全面的分析，在目前条件下 则结构的平衡方程可改写为 还存在困难，故在工程应用中，一般都采用近似的简化 ({K) -{K: j){a) = { F) (4) 分析方法，因此，如何合理地采用近似的简化分析来考 从式（4）可以看出，考虑P△效应的近似分析相当 虑PA效应和P6效应的影响，就成为工程、设计人员关 于将结构的初始刚度矩阵/K/修改为等效刚度矩阵 心的一个重要问题.
尤其在普遍采用CAD软件进行设 {K}{K）.经上述简化处理，使考虑P△效应的结构 计、计算的今天，深入了解PA效应和P6效应的计算方 弹性分析变得简单易行.
采用这种方法考虑PA效应 法、有关软件的实现机理，就显得更为重要.
的影响，与不考虑P效应的分析结果相比，结构的周 本文着重总结和介绍PA效应的计算原理和方法.
期、位移和构件的内力都有所不同.
PKM新规范版的 首先介绍P4效应分析中常见的4种基本方法：基于几 SATWETAT和PMSAP软件都采用了这种基于几何刚 何刚度的有限元方法、基于等效水平力的有限元选代方 度的有限元方法，ETABS软件也提供这种方法.
法、折减弹性抗弯刚度的有限元法以及结构位移和构件 内力增大系数法：然后对结构在考虑P效应后其自 2基于等效水平力的有限元选代法 振周期发生变化“的情况进行讨论：最后通过算例，显示 了PA效应在不同高度的高层建筑中、在总的结构反应 该方法的基本思路是：根据楼层重力荷载以及楼层 中所占的可能的比例.
在水平荷载作用下产生的层间位移，计算出考虑P△效 应的近似等效水平荷载向量，然后，对结构的有限元方 1基于几何刚度的有限元法 程进行选代求解，直到选代结果收敛，得到最终的位移 和相应的构件内力.
从原理上讲，这种方法是基于式 在采用有限元位移法进行结构的线弹性分析时，若 （4）的一种等价变形 不考虑二阶效应的影响，则结构的平衡方程将在结构的 {KJ/α)=(F} {△ F=) (5) 初始构型上建立，一般可记为 式中，△F:）={KJ/a为结构变形后因重力荷载作 {K]/ α/ = ( F} {1) 用点变化而产生的附加水平荷载向量.
式中，{K1为结构的初始线弹性刚度矩阵：/F}为水平 将式（5）改写为选代式为 荷载向量：/u/为在/F/作用下的结构位移向量.
{KJ (/ = {F} { F=).
(i = 0 1 2. .) (6) 结构的二阶效应实际上是一种几何非线性效应.
这就是基于等效水平力的有限元选代方法的基本 当考虑二阶效应影响时，结构的平衡方程可记为 计算公式.
这种计算方法计算效率不如等效几何刚度 {K; J/ a) = { F} 的有限元法，因为要对每一个水平荷载作用工况（或组 式中，{k1为考虑二阶效应影响的结构刚度矩阵：/u/ 合）进行选代求解.
89规范版的SATWETAT软件是采 为考虑二阶效应影响的结构位移向量.
用这种方法考虑PA效应影响的，新规范版软件已经改 从构成机理上讲，/K/由3部分组成：结构的初始 用基于几何刚度的有限元法：自前的ETABS软件中还提 线弹性刚度{K）：结构构件在轴向力作用下因长细比效 供这种方法.
采用这种方法考虑PA效应影响，与不考 应而引起的刚度矩阵变化量（K1：结构侧移变形导致虑PA效应的分析结果相比，结构的周期不变，变化的 构件几何参数变化引起的刚度矩阵变化量（K1.
则仅是结构的位移和构件的内力.
（2）式可以改写为 （{K]-{K-{KJ）{)={F}（3) 3折减弹性抗弯刚度的有限元法 结构的P6效应主要是由于{K的存在而引起 的，其效应大小与结构构件的长细比和轴向力有关.
在 折减弹性抗弯刚度的有限元法是近年来美国、加拿 任伺结构中，只要构件中存在轴向力，P6效应就存在， 大等国家的设计规范推荐的一种考虑P△效应方法.
构件的长细比越大、轴向压力越大，相应的P&效应就越 这种分析方法的基本思想是采用折减等效刚度，近似地 考虑钢筋混凝土结构中各类构件在极限状态时因开裂 结构的P效应主要是由于{K;/的存在而引起 而导致刚度减小现象，使分析结果与设计状态尽可能一 的，其效应大小取决于结构在水平力作用下产生的侧移致.
如何合理地确定钢筋混凝土构件的弹性抗弯刚度 209
折减系数，成了决定此方法精度、效率和实用性的关键.
果（结构位移、构件弯矩和剪力），直接乘以增大系数，以 从理论上讲，弹性抗弯刚度折减系数的确定原则应近似考虑重力二阶效应的影响.
该使结构在不同的荷载组合方式下，采用折减弹性抗弯 钢筋混凝土高层建筑结构技术规程）（JG3一 刚度的弹性分析结果与按非线性有限元法所得结果相2002）（以下简称”高规“）第5.4.2条规定，高层建筑 当.
但由于钢筋混凝土结构中各构件承受荷载的差异， 结构的重力二阶效应，可采用弹性方法进行计算，也可 以及构件各截面开裂不同而导致刚度变化的复杂性，实 采用对未考虑重力二阶效应的计算结果乘以增大系数 际上很难实现上述原则的要求.
的方法近似考虑.
结构位移增大系数6、6以及结构 为了使用上的方便，不得不对的框架梁（包括 构件弯矩和剪力增大系数66，可分别按下列规定近 剪力墙洞口连梁）的柱、的剪力墙均分别取统似计算 一的弹性抗弯刚度折减系数，对其初始弹性抗弯刚度进 对于剪切型结构，如框架结构，则 行折减.
美国混凝土结构设计规范》（ACI318-99）明 确要求在结构一阶弹性分析时考虑弹性抗弯刚度折减， (7) 并且给出了钢筋混凝土构件弹性抗弯刚度折减系数的 取值建议：梁取0.35:柱取0.7：未开裂剪力墙取0.7.已 1.β 开裂剪力墙取0.3511 我国昆凝土结构设计规范》（GB500102002）” 引进了该方法，第7.3.12条规定，当采用考虑二阶效应 对于剪弯型和弯曲型结构，如剪力墙结构、框架剪 的弹性分析方法时，宜在结构分析中对钢筋混凝土构件 力墙结构、筒体结构等，则 的弹性抗弯刚度E乘以下列折减系数：梁取0.4.柱取 0.6.对未开裂的剪力墙和核心简壁取0.7.对已开裂的 (8) 剪力墙和核心筒壁取0.45.这些折减系数是参考美国 规范给出的，但与美国规范建议的取值略有不同.
式中，β，=0.14HG/（EJ），具体符号含义见高 钢筋混凝土结构在弹塑性阶段的刚度变化十分复 杂.
在极限状态下，未必构件都同时开裂，针对某 规“第5.4节.
一构件而言，在某一作用组合下可能开裂，而在另一些 键筑抗震设计规范》（GB50011-2001）第3.6.3 作用组合下未必一定开裂.
采用统一的刚度折减系数， 条的条文说明中给出了以楼层稳定系数日，表达的内力 仅可能近似地反映在极限状态下结构整体的、宏观的性 增大系数计算公式.
在弹性分析时，作为简化方法，重 能，但很难真实地反应结构在极限状态下的刚度变化规 力二阶效应的内力增大系数6，可近似取为 律，特别是内力变化规律.
有些文献中把这种方法称为 =1/(1-0，)(=1.2...，n）(9） “一种精度和效率较高的考虑二阶效应的方法”这种提 同时，键筑抗震设计规范》（GB50011-2001）在第 法不一定恰当.
而且，采用折减弹性抗弯刚度的有限元 3.6.3条的条文说明中还特别强调，混凝土柱考虑多遇 法进行结构分析，会产生一系列新的问题，如构件弹性 地震作用产生的重力二阶效应的内力时，不应与混凝 抗弯刚度折减后，按照目前的键筑抗震设计规范》（CB 土设计规范》（GB50010-2002）承载力计算时考虑的重 50011-2001）规定的反应谱方法计算的地震力随之 力二阶效应重复.
减小，该如何考虑构件的内力分布规律和位移沿高度的 P效应不仅使柱的弯矩、剪力增大，也会使与之相 分布规律发生的变化：键筑抗震设计规范第5.2.5条 连的框架梁的梁端弯矩、剪力相应增大，在梁端正截面、 规定的最小剪力系数是否针对这样分析的地震力：这样 斜截面承载力设计中，也应考虑由P效应导致的梁端 分析的位移是属于弹性位移还是弹塑性位移：结构的位 弯矩、剪力增大的影响，而在我国上述规范中并没有提 移该如何控制等等.
因为弹性位移和弹塑性位移控制 出要求.
目前的SATWETAT、PMSAP等软件中，都未提 条件相差很大.
鉴于上述原因.在目前的SATWETAT 供上述的”结构位移和构件内力增大系数法”.
PMSAP等软件中，都未提供折减弹性抗弯刚度的有限元 法.
上述问题还有待进一步研究.
5”基于几何刚度的有限元法"兮起的 结构基本周期改变 4结构位移和构件内力增大系数法 在采用’基于几何刚度的有限元法“计算PA效应 增大系数法是一种简单可行的考虑重力二阶效应 时，将在结构的总体刚度矩阵中直接叠加几何刚度 的方法.
这类方法是对不考虑重力二阶效应的分析结 {K:）.这通常会导致最终计算采用的结构刚度（/K）- 210
{K:J）弱于结构的线弹性初始刚度（K，因为在 重力荷载作用下、结构中的大部分构件（柱、斜撑、 剪力墙等）都处于受压状态，而受压构件的几何刚 度矩阵一般都是负定或者负半定的.
考虑PA效 应前后，由于结构总刚度的改变导致结构自振特 性的改变.
不考虑几何刚度时，结构的固有振动 问题可表示为 {K/Φ=入 {M {Φ) (10) 考虑几何刚度后，结构的固有振动问题可表 图1某10层框架结构透视图及典型平面 Fig 1 3D perspective view and p lan diagram 示为 of 10=storey frame structure （{K}-{K;））={M/（11） 式中，{M是结构的质量矩阵，入、//和P、//分别 柱尺寸为600mmm×600mm，典型梁尺寸300mm×600mm 是考虑PA效应前后的结构特征对，其余符号同前.
抗震设防烈度为7度，Ⅲ类场地，地震分组为第一组.
当采用前弱的总刚度（/K）-{K;/）按照（11）式计 基本风压0.55kN/m²，体形系数1.3，地面粗糙度类别为 算结构的自振特性时，通常结构的一阶侧振周期都会略 Ⅱ.
考虑PA效应前后结构周期、地震和风作用下的层 有延长（相对于（10）式初始刚度/K/对应的周期而 间位移结果见表1和表2.
言），延长的程度与结构的抗侧力刚度及所受竖向荷载 表110层框架结构周期 有关.
结构的竖向荷载越大、抗侧力刚度越小，P效 Tabke 1 Natnl vbntion perod of 10-sbry 应就越显著，同时结构的一阶侧振周期的延长程度也越 fram e stnucture 显著.
实际上从（10）、（11）两式的对比不难发现，不仅 探型 周期/s 无P 有 相对误差 周期会变化，考虑P效应后的结构振型也会有变化， 当然，这种变化一般而言都是较小的.
1 1.800 1. 825 1. 4 % 2 1. 752 1.775 考虑P效应会使结构的周期发生变化，可以直观 1. 3 % 3 1.718 1.738 1.2 % 地理解为：当高层建筑结构按照一阶侧向振动振型做往 4 0.597 0.599 0. 3 % 复运动时，竖向力就会在垂直于结构侧壁的方向产生二 5 0.579 0.580 0.2% 阶分量F，该二阶分量就是造成P效应的直接原 6 0.571 0.572 0. 2 % 因，而AF的作用方向在一阶侧向振动振型下一般总是 与高层结构弹性恢复力的方向相反，换言之，它会部分 表210层框架结构层间位移 Tabk 2 hterstbrey disphcementof 10-sbrey 地抵消恢复力.
恢复力减小了，运动的加速度、速度都 fram e stnucture 会随之减小（相对于恢复力未减小时）、从而最终造成振 楼层 地震作用下Y向层间位移 风荷载作用下Y向层间位移 动周期的延长.
值得指出的是，对于高阶振型而言，由 无P 有P 误差 无P 有P 误差 于振型形态的复杂性，竖向力的二阶分量的方向，在结 1 1/935 1/927 0.9 % 1/1176 1/1153 2.0 % 构的一部分位置上与恢复力相反，在另一些位置上则可 3 1/900 1/890 1.1 % 1/1183 1/1154 2.5 % 能与恢复力相同，导致总的作用效果难以确定，故对于 5 1/981 1/965 1.7 % 1/1369 1/1328 3.1 % 1/1138 1/1111 % 51/1 1/1683 4.2 % 高阶振型对应的周期，考虑PA效应后，也有可能略有 10 1/1878 1/1813 3.6 % 1/2574 1/24495.1% 缩短.
总而言之，在理论上（11）式的解比（10）式的解要 更为精确.
因此，在SATWE.TAT.IMSAP软件中，当考 算例2某31层框剪结构，总高度132m，典型平面 虑PA效应时，结构自振特性的计算，都采用了更为合 如图2所示，其外周最大尺寸约为31m×22m，底层典型 理的（11）式.
柱截面1000mm×1000mm，梁截面400mm×800mm，墙厚 350mm.
抗震设防烈度为7度，Ⅱ类场地，地震分组为第 6混凝土结构PA效应算例 一组.
基本风压0.55kN/m²，体形系数1.4 地面粗糙度 类别为Ⅲ考虑P效应前后结构周期，地震和风作用 采用”基于几何刚度的有限元法”，给出3个混凝土 下的层间位移结果见表3和表4.
结构PA效应算例，以便从数值上对于P效应的各个 算例3某53层框筒结构，总高度220m，典型平面 方面有一个定量认识.
如图3所示，平面外周最大尺寸约为70m×37m，中间为 算例1某10层框架结构，总高度38.4m.典型平 菱形混凝土核芯筒，外周为钢管混凝土框架柱，外周钢 面如图1所示，平面外周最大尺寸约为75m×18m，典型 管混凝土柱与混凝土核芯筒之间用钢梁连接.
抗震设 211
防烈度为7度，Ⅱ类场地，地震分组为第一组.
基本风 压0.6kN/m²，体形系数1.3.地面粗糙度类别为Ⅲ考 虑PA效应前后结构周期，地震和风作用下的层间位移 结果见表5和表6.
图3某53层框筒结构透视图及典型平面 Fig 3 3D penpective view and plan diagnam of 53=sbrey framercore wall structure 图2某31层框剪结构透视图及典型平面 表653层框筒结构层间位移 Fig 2 3D penpective view and plan diagnam of Tabk 6 hte rsbrey disp hcementof 53*sibrey 31*skomey framesheasvall structure fram e *co re wall struc tune 楼层 地震作用下Y向层间位移风荷载作用下Y向层间位移 表331层框剪结构周期 无P 有PA 误差 无P 有PA 误差 Tabk 3 Namnl vbratibn perbd of 31*sbrey 6 1/3537 1/3453 2.4% 1/2478 1/2362 4.9 % fram e*shea w a ll s tructure 18 1/1131 1/1100 2.8% 1/819 1/775 5.7 % 周期/s 30 1/872 1/841 3.7% C59/1 1/613 6.5 % 振型 无P 有Pb 相对误差 42 1/837 61 4.8 % 1/643 1/597 7.7 % 3. 499 3-588 2.5% 51 1/969 1/918 5.6 % 1/733 1/675 8.6 % 2 2-972 3-015 1.4 % 3 2.682 2.673 - 0. 3 % 通过算例1-算例3采用基于几何刚度的有限元 4 1.126 1.129 0. 3 % 法计算P△效应”3个算例的分析，可以得到以下结论： 5 1.118 1.119 0. 1 % （1）结构的1阶振型对应的周期通常有所延长，对 1.031 1.030 0. 1% 于上述10层框架、31层框剪和53层框筒3个实际工程 表431层框剪结构层间位移 算例，分别延长1.4%、2.5%和3.2%.
一般而言，结构 Tabk 4hte rsbrey disp hcem entof 31*sbrey 越是高柔，延长的越明显，但一般不超过5%.
另一方 fram e*shea w a ll s tructure 面，从第2个算例31层框剪结构可以看出，结构的扭转 楼层 地震作用下Y向层间位移 风荷载作用下Y向层间位移 周期和高阶周期还可能略有缩短（-0.3%、0.1%）， 无PA 有PA 误差 无P 有PA 误差 但缩短的幅度非常小.
3 1/3732 1/3660 2.0 % 1/3559 1/3477 10 1/1292 1/1262 2.4 % 1/1264 1/1229 2.5 % （2）地震作用下层间位移和风荷载作用下层间位 17 1/1266 1/1227 3.2 % 1/1264 1/1218 2.8 % 移一般都会增加，但风荷载层间位移增加的百分比要超 1/1416 SLE1/1 2.8 % 1/1491 1/1429 4.3 % 过地震层间位移增加的百分比.
这主要是因为风荷载 31 1/1890 1/1840 2.7 % 1/2466 1/2238 10.2 % 是拟静力计算，起作用的是PA效应因素，而地震反应 谱分析中，除了PA效应因素，还掺杂了基本周期延长 表553层框筒结构周期 的影响.
Tabk 5 Natunl vbratibn perod of 53=sbrey fram e*co re wall stuc tune 周期/s 7 结论 探型 无P4 有P 相对误差 1 5. 193 5.357 3.2 % 2 3. 704 3.755 通过研究P效应在不同高度的钢筋混凝土高层 1.4 % 3 3. 451 3.481 0.9% 建筑总的结构反应中所占的可能比例，以及考虑P△效 4 1- 193 1-195 0.2 % 应时地震作用和风荷载引起的层间位移变化规律，可以 5 1- 140 1-142 0.2 % 得到对”采用基于几何刚度的有限元法计算P△效应” 1- 027 1-028 0.1 ≤ 的一些结论： （下转第217页） 212 C 1994-2010 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights reserved. .cnki.net
