第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文 2014年 考虑框架柱轴向变形的变刚度 框剪结构简化分析模型 王徽，肖从真，李建辉 （1.中国建筑科学研究院，北京100013） 摘要：高层建筑框架剪力墙结构在水平荷载作用下产生的倾覆力矩由剪力墙和框架共同承担，由框架分担的倾覆力矩会引 起框架柱的轴向变形，本文利用连续介质理论，将考虑框架柱轴向变形的等刚度框剪结构位移控制微分方程应用到变刚度 框剪结构，提出了考虑框架柱轴向变形的变刚度框剪结构简化分析模型.
与通用有限元模型计算结果相比，该方法计算精 度比未考虑框架柱轴向变形的框剪结构简化分析模型明显提高，可用于高层建筑框架剪力墙结构的初步设计，也可用于定 量和定性分析框架剪力墙结构的受力特性.
关键词：框架剪力墙结构，层模型，连续介质理论，连续-离散化 1引言 在有限元软件诞生之前，以连续介质理论为基础推导出的位移及内力计算公式一直是高层建筑框架 剪力墙结构的基本设计方法之一.
随着有限元法和计算机软硬件的发展，解析法的应用范围逐渐减小， 但是因为解析法具有有限元法无法替代的优势，例如计算量小、适合手算、可开展参数研究、适合从本 质上解释结构的受力机理等，解析法依然具有重要的研究价值.
经典的连续介质理论建立在等刚度假定基础上，即墙肢、连梁、框架梁、框架柱的几何特性、物理 特性及层高沿高度不变.
当层高有变化、立面有收进或竖向构件不连续时，有学者提出采用先离散后连 续的方法解决变刚度问题.
“离散-连续化”方法类似有限单元法，关键步骤是在刚度不变区段利用经 典的连续介质理论推导单元刚度矩阵，当按楼层划分区段时称之为层单元.
已有的层单元未考虑框架 柱的轴向变形，如图1所示，层单元上下结点各有两个自由度：平动y、转角9，因此这种层单元只适用 于“弯曲型-剪切型”双重抗侧力体系，当框架弯曲型侧移增大时，误差随之增大.
本文基于连续介质理 论推导一种考虑框架柱轴向变形的层单元，并将其应用于变刚度框剪结构在水平荷载作用下的静力分析.
. M 层单元 剪力墙 框架 层单元 M EI GA 4 层单元 图1框剪结构的层模型 （）十，日 作者箭介：王徽（1984-），男，博士研究生
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文 2014年 2连续介质理论 Heidebrecht和StaffordSmith在1973年推导出框剪结构的位移控制微分方程： dyd²y dx* (1) 其中 a” GA EI (2) 式中y为侧移，x为高度，w为侧向荷载沿高度的分布函数，GA代表框架的剪切刚度，EI代表剪力墙的 弯曲刚度，a表示框架和剪力墙的相对刚度.
微分方程（1）的解取决于侧向荷载的具体分布形式.
以倒三角分布荷载（w=qx/H）为例，解为： E2人 (3) chA 其中 =αH (4) = H (5) 式中H为总高度.
重抗侧力体系.
当考虑框架柱的轴向变形时，框剪结构成为“弯曲型-剪弯型”双重抗侧力体系：剪力墙 侧移曲线仍为弯曲型，框架侧移曲线兼有剪切型和弯曲型成分.
（1），重新推导了框剪结构的位移控制微分方程： (ka) d²y dx" dx² EI (6) 其中 &² = EIEAc² EAC (7) 式中EAc²代表全部框架柱绕其公共轴心的面积二次矩，M为水平荷载作用下的倾覆力矩.
微分方程（6）的解同样取决于侧向荷载的分布形式，以例三角分布荷载（w=qxH）为例，解为： gHk²-11 EIk²125120 qH11shk_shkx chkAg El (kx)²k² 2k（k）（ka）² (8) chk gH EI (kx)²k² 记剪力墙和框架的相对抗弯刚度为：
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文 2014年 EI = EAc (9) 图2列出=1~6、=0~0.3时用式（8）和式（3）计算的顶点位移的比值.
可以看出，考虑框架柱轴 向变形后，框剪结构的顶点位移有所增加，越大增幅越大.
典型的框剪结构入在3左右，#在0.05左 右，从图2可以看出，忽略框架柱轴向变形时所低估的顶点位移约为15%.
→-1 -o- 4.0 x1.4 3.0 →-5 9(o 2.0 1.0 D 0.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 图2考虑/不考虑框架柱轴向变形顶点位移比值 3层单元的推导 按楼层划分区段，将每个区段等效成一个层单元，利用位移控制微分方程可以推导层单元的刚度矩 阵.
将单元刚度矩阵组装成总刚度矩阵，求解线性方程后可以得到框剪结构的位移.
若考虑框架柱的轴 向变形，框架转角、剪力墙转角和楼层侧移可看作三个独立的变量.
如图3所示，层单元上下结点各有 两个转角自由度和一个平动自由度：0为剪力墙的转角，0为框架的转角，y为楼层侧移.
相应的，结 点荷载向量包含两个弯矩项和一个剪力项：M为剪力墙承担的倾覆力矩，M为框架承担的倾覆力矩，V 为楼层总剪力.
=V MaM K4 V. "WW! (a)结点位移分量 (b)结点荷载分量 图3“弯曲型-剪弯型”层单元 广义结点位移]和广义结点荷载[F]的关系可以表示为： [x]{}={F} （10) 式中[KT是将要推导的单元刚度矩阵.
推导单元刚度矩阵[K”主要用到两个静力平衡方程、一个位移相容方程、六个边界条件和一个荷载 分布形式的假定.
（1）剪力墙的静力平衡方程： M、=-EI p dx* (11)
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文 2014年 V.. dM EI "Kp （12) xp p dV d'M EI (13) dx dx² dx° 式中yn是剪力墙弯曲侧移，M、V为剪力墙承担的倾覆力矩和剪力，w为侧向分布荷载，g是剪力墙 和框架之间等效连续介质提供的相互作用力，EL是剪力墙弯曲刚度.
（2）框架的静力平衡方程： '='w d'y dx" (14) dM V.： EI dx² (15) xp dV dM q= (16) xp dx² dyn dx* V=GA- (17) xp 'AP d²y 9= GA (18) xp dx² 式中y是框架弯曲侧移，ya是框架剪切侧移，M、V为框架承担的倾覆力矩和剪力，EL是框架弯曲刚 度，GA为框架剪切刚度.
（3）位移相容方程： y = ys = ys y (19) （4）边界条件： 0= y= (20) p =h0 (21) dy=h0 (22) 当f=1时 y=y (23) dy d =h0 (24) dy =h0 (25) （5）假定侧向荷载只作用于结点，则剪力墙和框架承担的剪力之和在单元内任意位置都等于结点位 置的总剪力： VV ==V =V (26) 首先联立式（13）和式（18），得到用V表达的控制微分方程： dV -A²V= h²GA dg² EI (27) 式中V为结点i位置的总剪力.
微分方程的解为：
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文 2014年 V=CshCch- (28) 考虑到当g=0时 V =GAθGAθ (29) 1= V = GA0 GA0 (30) 可以解出C和C.
对式（12）求一阶导数并作变量替换后得到用y表达的控制方程： dy_2h² (C ch Csh) (31) dg* EI 上式的解为： y=C C C 2²C5² A² EI (C ch Csh) (32) 代入边界条件（式20、21、23、24）可解出待定系数CC6 对式（14）求一阶导数并作变量替换后得到用y表示的控制方程： d’y h CshCch- VD1 dg' EI (33) EI. 对上式两边积分两次后得到 dy =C C、 CshCch 2EI 1 EI (34) dg 代入边界条件（式22、25）可以解出待定系数C、Cg 经过以上推导出，C~Cg的表达式中含六个结点位移分量y、0、0n、)、0、6和一个结点荷载分 量V.V和其它5个结点荷载分量的表达式如下： V= EI.d'y Rdg (35) M. (36) M ET (37) V = El.d'y Rdg V (38) /-1