第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文2014年 全频校准的钢-砼混合结构 Rayleigh阻尼模型及其对比分析 黄吉锋 （中国建筑科学研究院，建研科技股份有限公司设计软件事业部，北京100013) 提要通过对结构中不同材料的阻尼矩阵分量逐项运用Rayleigh假定，同时对于各阻尼矩阵分量在不同振型上的投影，均采 用与各振型相应的频率进行校准，以此为基础，提出了一种改进的钢-砼混合结构阻尼矩阵模型.
该模型一方面可以体现结 表现出的随着振型阶次升高、阻尼比迅速增大的不合理现象.
该阻尼模型已在PMSAP软件中实现，并在钢-砼混合结构实 际工程的计算分析中表现出充分的合理性和实用性.
关键词全频校准：钢-砼混合结构：Rayleigh阻尼矩阵：阻尼比：地震反应 Full-frequency calibrated Rayleigh damping model for steel-concrete hybrid structure and its parison analysis Huang Jifeng (China Academy of Building Research Beijing 100013 China) o o s or e n structure a new method is proposed to form the damping matrix of hybrid structure posed of steel and concrete in which the projection of the damping matrix of different material on the mode space has been calibrated by the frequencies of each corresponding mode. On one hand the amount the spatial distribution and the intensity of vibration of the two materials of steel and concrete in the structure will be embodied adequately in this model on the other hand it avoids the excessive rapid increasing of the damping ratio for the modes of high order that will occur inevitably in the traditional Rayleigh type damping model. The damping model has been brought about in PMSAP a mercial puter software for conducting seismic analysis and design of plicated high rise building structure through putation and parison for some practical building structures its rationality and practicability has also been verified. Keywords: Full-frequency calibrating; steel-concrete hybrid structure; damping matrix of the Rayleigh type; damping ratio; earthquake response 1结构阻尼矩阵的研究现状 从材料构成的角度，建筑结构可以划分为单一材料结构和混合结构两大类.
在由不同材料组成的混合 结构中，钢-砼混合结构是建筑工程中最常见、应用最广泛的结构形式.
钢材和混凝土具有不同的阻尼比（一 般钢材阻尼比为0.02，混凝土阻尼比为0.05），耗能特性差异较大，对此类结构进行地震反应分析，其关 键点和难点在于确定合适的结构阻尼计算模型.
在目前的实际应用中，阻尼矩阵普遍采用粘滞模型.
1.1单一材料结构的阻尼模型 对于单一材科组成的结构，其阻尼矩阵的形成方法一般有两种： 第一种方法可以称为“直接比例阻尼矩阵法”，该方法直接形成比例阻尼矩阵（或者叫正交阻尼矩阵）， 这类阻尼矩阵的特点是可以被结构的无阻尼振型解耦，Rayleigh阻尼和Caughey阻尼都具有这样的性 质，其中Rayleigh阻尼简单明了，最为常用，它假定结构的阻尼矩阵可表为结构质量矩阵与结构刚度矩 作者箭介：黄吉峰（1969一），男，工学博士，研究员
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文2014年 阵的线性组合，即： C = αM βK (1) 式（1）中，C，M，K分别是结构的阻尼矩阵、质量矩阵和刚度矩阵：α.β是组合系数，当C由两个 频率校准时，其数值由下式决定： （(o²-²）²o() β)²-o²(5 (2) 式（2）中，{（，5）i=1.2）一般是结构的前两阶振型对应的圆频率和阻尼比，也可以采取质量参与 系数最大的两个振型对应的圆频率和阻尼比，但是，在实际应用中更多的则是取这两个报型的阻尼比为定 值，比如对于混凝土结构一般都取0.05，钢结构一般都取0.02.
从物理意义上看，式（1）中C矩阵在质 量矩阵上的分量体现与质点运动速度成比例的能量耗散，在刚度矩阵上的分量则体现与质点应变速度成比 例的能量耗散.
当式（1）中的阻尼矩阵C采用一个指定频率校准时，系数α.β的取值为： =2号 (0≤y ≤1) β) ((1-y)∞) (3) 此时有： Wo= () (4) 式（3）和式（4）中，是与指定频率相应的阻尼比，y是位于[0 1]中的可调参数，用于体现质 点运动速度相关的耗能和质点应变速度相关的耗能之间的相对比例关系.
第二种方法可以称为“给定振型阻尼比法”，该法通过给定结构各振型对应的阻尼比，直接在主振型 投影空间中完成结构的地震反应分析.
当振型的阻尼比气，都给定时，结构的阻尼矩阵满足下式： ²C① =C =Diag(2 2 2) (5) 式(5）中，Φ是结构的完全的振型矩阵，并满足： Φ′MΦ=1 (6) 此时，阻尼矩阵可以按照以下公式确定： C=MΦC'Φ’M (7) 由此可见，第二种方法在做地震反应分析时，虽然不直接用到阻尼矩阵，但实际上阻尼矩阵也是隐含 确定的.
1.2多种材料混合结构的阻尼模型 对于两种或者多种材料组成的混合结构，如何形成合理的阻尼矩阵，目前还没有公认的方法，研究也 还不多.
文[3]将用于单一材料的Rayleigh阻尼模型推广应用于混合结构，建议了一种非比例阻尼模型， 该方法的基本点是对于混合结构中的每一个有限单元运用Rayleigh假定.
记单元e的阻尼比、质量矩阵、 刚度矩阵分别为，M，K，则单元阻尼矩阵：
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文 2014年 C.=aM.β.K. (8) 其中： α 24. 0 β.）001 (9) 式(9)中，.指的是单元自身的阻尼比，，则为整体结构对应的无阻尼系统的两个典型圆频率.
C.M，K.与整体结构阻尼、质量和刚度矩阵的关系是： =xW=W= (10) 此外，在实际应用中，对于不同部分具有不同阻尼比的结构，还常常根据变形能的加权平均来确定振 型阻尼比"，此类方法相当于在结构上定义了一种比例阻尼矩阵.
2全频校准的钢-砼混合结构Rayleigh阻尼模型 对于常见的Rayleigh型阻尼矩阵，如果采用适当的方法计算其振型阻尼比，会发现随着振型阶次的 升高，相应的阻尼比往往迅速增大，而以往的研究和试验表明"，实际情况并不如此，通常高振型的阻 尼比相对于低振型，只是略有增大，二者的数值属于同一个数量级.
其原因在于实际结构的阻尼特性不完 全符合粘滞阻尼理论的基本假定.
通过数值计算可以发现，文[3]中提出的基于单元Rayleigh假定的混合 结构阻尼模型，尽管可以较好地反映结构中钢和混凝土两种材料的数量对比和相对空间分布关系，但也存 在阻尼比随着振型阶次的升高而迅速增大的趋势.
高振型的阻尼比过大，意味着高阶振型效应有可能被过 分抑制，这对于高振型效应比较明显的结构，是偏于不安全的.
本文将对文[3]的阻尼模型进行改进，提 出一种新的钢-砼混合结构阻尼矩阵确定方法，解决高振型阻尼比过大的间题.
记结构中钢结构部分的阻尼矩阵为C，，混凝土部分的阻尼矩阵为C.
，整体结构的阻尼矩阵为C.
那 么： = (11) 根据结构动力学基本理论，结构在第i(i=1.2. n）振型上的阻尼比： 20 20 (12) 在式（12）中，分别对C，和C.运用Rayleigh假定，并采用单一频率校准公式（4），则有： C =2 !-YK yo M (1) = M (14) 式（13）、（14）中，，M，K，和，M，K分别表示钢结构部分和混凝土部分的阻尼比、质量矩阵 和刚度矩阵.
将式（13）、（14）代入式（12）可得： =(MM)(EKK) (15)
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文2014年 各阶振型的阻尼比由式（15）计算得到之后，整体结构的阻尼矩阵借助式（7）求得，也即： C = M①Diag(2 2. 2)①M (16) 导出式（15）、（16）的关键在于，对于阻尼矩阵在不同振型上的投影，均采用与该振型相应的频率进 行校准，而不是像传统做法一样，采用一个或两个固定的频率进行校准.
从这个意义上，式（15）、（16） 不同于文[3]，式（16）给出的钢-砼混合结构阻尼矩阵C是比例的，当令=时，式（16）将退 化为各振型阻尼比都相同的单一材料的阻尼矩阵.
实际的计算分析表明，这种方法可以较好地反映结构中 钢和混凝土两种材料的数量对比和相对空间分布关系，同时又解决了阻尼比随着振型阶次的升高而迅速增 大的问题.
实际上，如果5>2 (17) 也就是说，每个振型的阻尼比都将位于区间，]之中.
值得指出的是，式（15）、（16）也可以方便地推广到多种材料组成的更为复杂的混合结构，这时，只 须将式（15）改写为式（18），而式（16）仍然适用： (18) jl 式（18）中，m代表结构中的材料种类数.
3算例 文[3]提出的用于混合结构地震反应分析的非比例阻尼模型，是单一材料结构Rayleigh型阻尼在混合 结构中的推广，该方法可以得到阻尼矩阵的显式，与单一材料结构计算中的“直接比例阻尼矩阵法”相对 组合CCQc的反应谱分析：本文第2节提出的采用全频校准的改进方法，同样基于Rayleigh假定，但由 于对阻尼比的校准更为贴切全面，很好地避免了高振型阻尼比过大的间题.
这两种阻尼矩阵模型均已纳入到《复杂多层及高层建筑结构分析与设计软件PMSAP》.
对于非比例阻尼 问题，在CCQC提出之前，一般都近似地采用强迫解耦法进行分析，为了方便比较，PMSAP中也同时提供了 强迫解耦法.
以下将借助于PMSAP软件，以典型的钢-砼混合结构为算例，进行阻尼特性和地震反应分析，显示两 种阻尼模型的异同以及非比例阻尼问题强迫解耦法的精度.
下面每个算例均采用三种方法进行计算，每种 方法的具体含义是： 方法A：按照文[3]方法建立整体结构的非比例阻尼矩阵，通过直接求解结构的有阻尼特征值问题得到 各阶振型的准确阻尼比，然后采用CCQC方法计算结构的地震反应.
方法B：按照文[3]方法建立整体结构的非比例阻尼矩阵，在主振型投影空间中利用强迫解耦法获得各 阶振型的等效阻尼比，然后采用常规的CQC方法计算结构的地震反应.
方法C：采用本文第2节提出的改进方法建立阻尼矩阵，然后采用常规的CQC方法计算结构的地震反 应.
计算时，钢材和混凝土的阻尼比分别取为0.02和0.05，可调参数y取0.5.
例1混合框架E5C5S：10层框架，各层平面布置均如图1所示，各层层高、横跨和纵跨均分别为3m， 5m和4m.
下部5层为砼结构，砼强度等级C25 柱截面为800×600，梁截面为300×500：上部5层为钢结
第二十三届全国高层建筑结构学术会议论文 2014年 构，钢材均为Q235 柱截面为工形500×500×30，梁截面为工形300×500×30：结构的每层最左面一福设 置交叉斜撑，斜撑的截面与本层柱相同（对砼楼层设置砼撑，对钢楼层设置钢撑），设置方式如图2所示.
楼面的恒、活荷载分别为10kN/m和5kN/n.
地震设防烈度为8度，II类场地，地震分组为第一组.
参与 振型取30个.
计算结果见表1至表3.
图1简单框架透视图及标准平面 图2边的斜撑设置方式 表1结构E5C5S的振型阻尼比 报型 方法A 方法B B/A 方法C C/A 0. 0445 0.6345 1.000 0. 04431 1. 286 2 0. 03663 0. 03663 1. 000 0. 04521 1.234 3 0.06261 0. 05266 1. 001 0 03088 0.587 4 0. 07422 0.07417 0. 999 0. 04156 0.560 5 0. 06838 0. 06853 1. 002 0. 03541 0.518 6 0. 09408 0.09420 1. 001 0.03411 096°0 表2 结构E5C5S的Y向楼层剪力（kN) 层号 方法A 方法B B/A 方法C / 1725 8 1756.3 1.018 1955 9 1.133 S 1101. 3 1135.7 1. 031 1223. 4 1.111 6 900. 9 921.8 1. 023 1004. 5 1.115 10 220. 9 22.4 1. 007 294.8 1. 335 表3结构E5C5S的Y向层间位移角（Rad） 层号 方法A 方法B B/A 方法C C/A 1/1414 1/1415 0.999 1/1426 0.990 1/765 1/766 1.000 1/797 0.960 6 1/932 1/932 1.000 1/930 1.002 10 1/3640 1/3667 0. 993 1/3054 1. 192 例2不等高双塔混合结构MT：结构共18层，层高均为3.3m.
底盘三层为混凝土结构：层4~9左塔为 钢框架，右塔为砼框剪结构：层10~18在层9平面基础上去掉左塔钢框架，只保留右塔砼框剪结构，如 图3所示.
砼强度等级均为C25.钢材强度等级均为Q235.
纵跨的中间跨跨度为3m，其余跨跨度均为5m.
右塔中间四根砼柱截面在层1~3为800×800，层4~9为700×700，除此而外其余砼柱截面均为 600×600.
砼梁截面均为300×500；左塔层4-9的钢柱截面均为450×450×30的方钢管：钢梁截面均 楼面的恒、活荷载分别为8kN/m和3kN/m.
地震设防烈度为7度，II类场地，地震分组为第一组.
参与 振型取30个.
计算结果列于表4至表6.
